Махгилис Эйве родился 20 мая 1901 года в семье учителя младших классов церковной школы Корнелиуса Эйве и его жены Элизабет. У Макса был старший брат Виллем, младшие братья Кеес и Боб и сёстры Анни и Тини. Позднее Корнелиус был вынужден сменить работу и перешёл работать в гражданскую школу ради большей зарплаты, а также давал уроки скрипки и фортепиано. Он обучал музыке и своих детей. Супруги Эйве любили шахматы и раз в неделю устраивали турниры для знакомых. Макс научился игре в четыре года и скоро начал обыгрывать родителей.